Lugares geométricos

Definición de lugar geométrico:

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Ejemplos de lugares geométricos

Mediatriz

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de losextremos.

Ejemplo. 

 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2 , 5) y B(4, -7).

Bisectrices

Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan de las rectas que forman el ángulo.

  

Las dos bisectrices son perpendiculares entre sí.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x - 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

Hallar las bisectrices de los ángulos que la recta r ≡ 3x - 4y + 3 = 0 forma con los ejes coordenados

 

 

DISTANCIA Y ANGULO ENTRE RECTAS 

 

Distancia y ángulo entre rectas

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Hallar la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r ≡ 3 x + 4 y = 0.

Distancia al origen 

Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0. 

Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

Distancia entre rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

 

Hallar la distancia entre las rectas: r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x − 12 y − 4 = 0.

La distancia entre dos rectas también se puede expresar del del siguiente modo:

Calcular la distancia entre las rectas:

Ángulo entre dos rectas

Se llama ángulo entre dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

1 Sus vectores directores

2 Sus pendientes

Hallar el ángulo que forman las rectas r y s, si sus vectores directores son: = (−2, 1) y =(2, −3).

Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

 

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Ejemplos:

Calcular una recta perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pase por el punto A(3,5).

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 3x - 2y - 1 = 0, que pasa por el punto A(-2, -3).

Sean las rectas r ≡ 3x + 5y - 13 = 0 y s ≡ 4x - 3y + 2 = 0. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de ellas y es perpendicular a la recta t ≡ 5x - 8y + 12 = 0

 

Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean perpendiculares.

 

Pendiente de una recta

Definición de pendiente

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Se denota con la letra m.

Cálculo de la pendiente

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Pendiente dada la ecuación de la recta.

 

Ejemplos.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas es agudo, lapendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

 

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas es obtuso, lapendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

Ecuación de la recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .

Ecuación vectorial de la recta

Si P(x₁, y₁) es un punto de la recta r, el vector  tiene igual dirección que , luego es igual a  multiplicado por un escalar:

Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.

 

Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

 

Ecuaciones paramétricas de la recta

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:

 

Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

 

Ejemplos: 

Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

 

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

Ecuación continua de la recta

Si despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.

Ejemplos:

Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2,5). Escribir su ecuación continua.

Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

Ecuación punto-pendiente 

Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

Como

Se obtiene:

Ejemplos

Calcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(−2, −3) y B(4,2).

Calcular la ecuación de la recta que pasan por A(−2, −3) y tenga una inclinación de 45°.

Ecuación general o implícita de la recta

Partimos de la ecuación continua la recta

Quitamos denominadores:

Trasponemos términos:

Transformamos:

Y obtenemos la ecuación general de la recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

Calcular la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = −2.

Ecuación de la recta en forma explícita

Si despejamos y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.

Calcular la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=−2.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Si los puntos A (x₁, y ₁) y B (x₂, y ₂) determina una recta r. el vector director de la recta es:

cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5) es:

Ecuación canónica o segmentaria

Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4).

−4x −8 = 3y −3 4x + 3y + 5 = 0

Si y = 0  x = −5/4 = a.

Si x = 0  y = −5/3 = b.

TRIANGULO 

Medianas de un triángulo

Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto.

Baricentro

El baricentro es el punto de corte de las tres medianas.

El baricentro se expresa con la

  

letra G.

El baricentro divide a cada mediana en dossegmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

BG = 2GA

Coordenadas del baricentro

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃),

Las coordenadas del baricentro son:

 

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

Ecuación de la mediana que pasa por A y el punto medio de BC

En primer lugar hallamos el punto medio de Bc

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ecuación de la mediana que pasa por B y el punto medio de AC

Ecuación de la mediana que pasa por C y el punto medio de AB

Baricentro

Mediatrices de un triángulo

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas por los puntos medios de sus lados.

Circuncentro

El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.

El circuncentro se expresa con la letra O.

El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de BC

En primer lugar hallamos el punto medio de BC

Hallamos la pendiente de la perpendicular al lado BC.

Aplicamos la ecuación punto-pendiente

Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AC

Ecuación de la mediatriz que pasa por el punto medio de AB

Circuncentro

El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

Área de la circunferencia circunscrita

El circuncentro es el centro de la de la circunferencia circunscrita, es decir, la que pasa por los tres vértices.

El radio de la circunferencia circunscrita es la distancia entre dos puntos: el incentro y cualquier vértice del triángulo.

Alturas de un triángulo

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

El ortocentro se expresa con la letra H.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta, llamada recta de Euler.

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las alturas y elortocentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

Ecuación de la altura que pasa por el vétice A

Hallamos la pendiente de la perpendicular al lado BC.

Aplicamos la ecuación punto-pendiente

Ecuación de la altura que pasa por el vétice B

Ecuación de la altura que pasa por el vétice C

Ortocentro

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

 

Bisectrices de un triángulo

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a cada ángulo, de los ángulos del triángulo, en dos ángulos iguales.

Incentro

El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.

El incentro se expresa con la letra I.

El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las bisectrices y el incentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

En primer lugar hallamos las ecuaciones de los lados del triángulo.

Cálculo de la bisectriz que pasa por A.

Cálculo de la bisectriz que pasa por B.

Cálculo de la bisectriz que pasa por C.

Incentro

El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

Área de la circunferencia inscrita

El incentro es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, es decir, tangente a los tres lados del triángulo. Por tanto el radio es la distancia del incentro a cualquier lado.

FACTORIZACION

Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios.

a)  3x³ y² + 9x² y² – 18xy²

Solución: Se   observa   que   hay   factores   comunes   entre   los  términos  del polinomio  dado,  por  lo  que  se  eligen  los  factores  comunes  con  su  menor exponente  (M.C.D.)  tanto  entre los  coeficientes  numéricos  (3, 3², 2.3²) como entre las variables, obteniéndose: 3xy²

El otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común:

,           ,           

Por tanto, el polinomio factorizado será:

3x³ y² + 9x² y² – 18xy² = 3xy² (x² + 3x – 6)

La factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que se factorizó.

b)  a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1)

Solución: El factor común también puede ser un polinomio, en este caso, m – 1 y la factorización se realiza en forma análoga a cuando el factor común es un monomio (véase el ejercicio anterior).

Por lo tanto,      a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1) = (m – 1) (a + b – c)

c)  2av² + 3u³ + 2auv – 3uv² – 2au² – 3u² v

Solución: A simple vista se observa que no hay factor común, pero hay términos que “se parecen” como 2av² y 3uv². Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en el caso de factor común por agrupación, que consiste en hacer grupos con igual cantidad de términos, se factoriza cada grupo con el propósito de conseguir un nuevo factor común, y luego, se completa la factorización. Si al factorizar los grupos no se consigue un nuevo factor común, entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo.

Efectuemos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º.  Entonces,

     2av² + 3u³ + 2auv – 3uv² – 2au² – 3u² v

      =  (2av² – 3uv²) – (2au² – 3u³) + (2auv – 3u² v)  (se factoriza cada grupo)

      =  v² (2a – 3u) – u² (2a – 3u) + u v (2a – 3u)  (aparece un nuevo factor común)

      =  (2a – 3u) (v² – u² + u v)    (se completa la factorización). Entonces,

2av² + 3u³ + 2auv – 3uv² – 2au² – 3u² v =  (2a – 3u) (v² – u² + u v)

También se pueden agrupar los términos de 3 en 3, por ejemplo, los 3 términos que tienen coeficiente numérico 2 y los 3 que tienen coeficiente numérico 3. ¡Inténtalo!

d)  9x² – 36xy + 36y²

Solución: Como  es  un  trinomio,  la  pregunta  inmediata  es: ¿Será  un trinomio cuadrado perfecto?   Se  reconoce  porque  dos  de sus términos son positivos y cuadrados  perfectos (tienen raíz cuadrada exacta):     y   ; y el tercer término  (positivo o negativo) es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los dos primeros: 36xy = 2(3x) (6y).

Entonces, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza separando las raíces cuadradas por el signo del 2º término, se encierran entre paréntesis  y se eleva al cuadrado.  O sea,

9x² – 36xy + 36y² = (3x – 6y)²

                                                ↓                     ↓

                                              3x                    6y

                                                     2(3x)(6y)

e)  9x² – 4y⁴

                  

Solución: Obsérvese que son dos cuadrados perfectos que se están restando, por lo que, se trata de una diferencia de cuadrados. Para factorizarlo, se saca la raíz cuadrada de cada uno de los términos; estas raíces cuadradas se suman y se multiplican por la diferencia de las mismas.

Por lo tanto,    

                                           9x² – 4y⁴ = (3x + 2y²) (3x – 2y²)

                                             ↓       ↓

                                            3x     2y² 

f)  (a + b – 1)² – (a – b + 1)²

Solución: Se trata de una diferencia de cuadrados.  Entonces,

     (a + b – 1)² – (a – b + 1)² = [(a + b – 1) + (a – b + 1)] [(a + b – 1) – (a – b + 1)]

                                              = [a + b – 1 + a – b + 1] [a + b – 1 – a + b – 1]

                                              = [2a] [2b – 2] = 2 a. 2 (b – 1) = 4 a (b – 1)

(a + b – 1)² – (a – b + 1)²  =  4 a (b – 1)

g)      125 a³ + 8b³

Solución: Esta es una suma de cubos.  Se le saca la raíz cúbica a cada término y luego se aplica:   a³ + b³ = (a + b) (a² – a b + b²).  Por tanto,

    

125 a³ + 8b³ = (5a)³ + (2b)³ = (5a + 2b) [(5a)² – (5a) (2b) + (2b)²]

                                             = (5a + 2b) (25a² – 10a b + 4b²)

h)  (x – 1)³ – (1 – x)³

Solución: Se trata de una diferencia de dos cubos, por lo que se aplica:

a³ – b³ = (a – b) (a² + a b + b²). Entonces,

     (x – 1)³ – (1 – x)³ = [(x – 1) – (1 – x)] [(x – 1)²  + (x – 1) (1 – x) + (1 – x)²]

desarrollando:    = [x – 1 – 1 + x] [x² – 2x + 1 + x – x² – 1 + x + 1 – 2x + x²]

Simplificando:    = [2x – 2] [–2x + 2x + 1 – 2x + x²]  factorizando y simplificando:

                          = 2 (x – 1) (x² – 2x + 1) = 2 (x – 1) (x – 1)²,  entonces,

     (x – 1)³ – (1 – x)³ = 2 (x – 1)³

i)   27 a³ + 27 a² b + 9ab² + b³

Solución.  Este caso se reconoce porque el polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas); enseguida se debe ordenar para ver si se trata del cubo de un binomio.  En este caso, el polinomio está ordenado y ahora hay que comprobar si se cumplen las condiciones.  Se procede así:

Se saca la raíz cúbica del 1º y el 4º término:     y    

El 2º término, debe ser el triple del cuadrado de la primera raíz cúbica por la segunda:    

3 (3 a)². b = 3 (9 a²).b = 27 a² b

El tercer término, debe ser el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda:       

3 (3 a) (b)² = 9ab² 

Como se cumplen todas las condiciones, y además, todos los términos son positivos, se trata del cubo de una suma.  Entonces, se suman las raíces cúbicas, se encierran entre paréntesis y luego se eleva al cubo. O sea,

27 a³  +  27 a² b  +  9ab²  +  b³  =  (3 a + b)³ 

    ↓                                       ↓

   3a                                      b

             3(3 a)² .b 

                              

                            3(3 a).b²         

              

j)   8m³ + 96mn² – 64n³ –  48m² n

Solución: El polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos, entonces, hay que ordenarlo con relación a la letra m:

8m³ – 48m² n + 96mn² – 64n³

Como los signos van alternados, se trataría del cubo de una diferencia y se factoriza como en el ejemplo anterior:

8m³  –  48m² n  +  96mn²  –  64n³ =  (2m – 4n)³ 

                                   ↓                                              ↓                                           

                                 2m                                            4n

                                         3(2m)²(4n)

                                                             3(2m) (4n)²

k)  x² – 7x + 12

Solución: Es un trinomio pero no cuadrado perfecto, sino de la forma x² + bx + c.  Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x², la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis.  Se coloca el signo del segundo término en el primer paréntesis  y en el segundo, el producto de los signos del 2º y tercer término.  Así:

x ² – 7x + 12 = (x –   ) (x –  )

Ahora se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados (porque tienen signos iguales) den 7.  Estos son 4 y 3.  Se coloca primero el mayor y en el segundo paréntesis, el menor. Entonces,

x ² – 7x + 12 = (x – 4 ) (x – 3)

l)  3x² – 5x – 2

Solución: Es un trinomio de la forma ax² + b x + c.  Hay dos maneras de factorizarlo:

·        1ª  forma:

Se multiplica y se divide por 3 el polinomio dado, de manera que el primer término quede expresado como un cuadrado perfecto, o sea, (3x)²; en el segundo término se deja indicada la multiplicación, de manera, que se vea la raíz cuadrada del primero, o sea, 5(3x) y en el último término, se hace la multiplicación ordinaria. Por lo tanto,

3x² – 5x – 2 =  

ahora se factoriza como en el ejemplo anterior, resultando,

3x² – 5x – 2 =  

Se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados (porque tienen signos diferentes) den 5.  Los números son 6 y 1.  Se factoriza el primer paréntesis para eliminar el 3 que está como denominador.  En resumen:

3x² – 5x – 2 =    (x – 2) (3x + 1)

·        2ª forma:

 Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x ², la cual se distribuye   en cada uno de los paréntesis pero acompañada del 3.  Como hay un 3 de más, entonces, se divide por 3:

3x² – 5x – 2 =

 Antes de factorizar como en el ejemplo anterior, se multiplican los números  extremos (3.2 = 6) y se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados  den 5. Los números son 6 y 1, luego se elimina el 3 del denominador. Por lo  tanto,

3x² – 5x – 2 =   (x – 2) (3x + 1)

entonces,                         3x² – 5x – 2 = (x – 2) (3x + 1)

m)  9x² – a² + 2ab – b²

Solución: Se agrupan los tres últimos términos del polinomio, los cuales formarán un trinomio cuadrado perfecto y luego, se obtendrá una diferencia de cuadrados:

9x² – a² + 2ab – b² = 9x² – (a² – 2 ab + b²) = 9x² – (a  – b)²

                                                 = [3x + (a  – b)] [3x – (a – b)]